Ano ang Infinity? + Halimbawa

Sagot:

Hindi ito masasagot nang walang konteksto. Narito ang ilan sa mga gamit sa matematika.

Paliwanag:

Ang set ay may walang katapusang cardinality kung maaari itong i-map ang isa-sa-isa papunta sa isang tamang subset ng sarili nito. Hindi ito ang paggamit ng infinity sa calculus.

Sa Calculus, ginagamit namin ang "infinity" sa 3 paraan.

Pagsasaad ng pagitan:

Ang mga simbolo # oo # (ayon sa pagkakabanggit # -oo #) ay ginagamit upang ipahiwatig na ang isang pagitan ay walang karapatan (ayon sa kaliwa) endpoint.

Ang agwat # (2, oo) # ay pareho ng set # x #

Mga Walang-hangganan na Limitasyon

Kung ang isang limitasyon ay hindi umiiral dahil bilang # x # diskarte # a #, ang mga halaga ng #f (x) # dagdagan nang walang hangganan, pagkatapos ay isulat namin #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Tandaan na: ang parirala na "walang nakatali" ay mahalaga. Ang mga nuber:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # ay nagdaragdag, ngunit nakabuklod sa itaas. (Hindi sila nakarating o pumasa #1#.)

Mga Limitasyon sa Infinity

Ang pariralang "limitasyon sa kawalang-hanggan" ay ginagamit upang ipahiwatig na tinanong namin kung ano ang mangyayari #f (x) # bilang # x # ang mga pagtaas nang walang hangganan.

Kasama sa mga halimbawa

Ang limitasyon bilang # x # ang mga pagtaas na walang nakatali # x ^ 2 # ay hindi umiiral dahil, bilang # x # ay nagdaragdag nang walang nakagapos, # x ^ 2 # din nagpapataas nang walang nakagapos.

Ito ay nakasulat #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # at madalas naming basahin ito

"Ang limitasyon bilang # x # napupunta sa infinity, ng # x ^ 2 # ay kawalang-hanggan"

Ang limitasyon #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # ay nagpapahiwatig na, bilang # x # ay nagdaragdag nang walang nakagapos, # 1 / x # diskarte #0#.

Sagot:

Depende ito sa konteksto …

Paliwanag:

#bb + - # Infinity at limitasyon

Isaalang-alang ang hanay ng mga tunay na numero # RR #, madalas na nakalarawan bilang isang linya na may mga negatibong numero sa kaliwa at positibong numero sa kanan. Maaari naming idagdag ang dalawang puntos na tinatawag # + oo # at # -oo # na hindi gaanong gumagana bilang mga numero, ngunit may mga sumusunod na ari-arian:

#AA x sa RR, -oo <x <+ oo #

Pagkatapos ay maaari naming isulat #lim_ (x -> + oo) # upang sabihin ang limitasyon bilang # x # nakakakuha ng mas at mas positibo na walang itaas na hangganan at #lim_ (x -> - oo) # upang sabihin ang limitasyon bilang # x # nakakakuha ng mas at mas negatibong walang mas mababa nakatali.

Maaari rin naming isulat ang mga expression tulad ng:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… ibig sabihin na ang halaga ng # 1 / x # Ang mga pagtaas o pagbaba ay hindi nakagapos # x # diskarte #0# mula sa 'kanan' o 'kaliwa'.

Kaya sa mga kontekstong ito # + - oo # ay talagang maikli upang ipahayag ang mga kondisyon o mga resulta ng mga limitasyon sa proseso.

Infinity bilang pagkumpleto ng # RR # o # CC #

Ang projective line # RR_oo # at Riemann globo # CC_oo # ay nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang puntong tinatawag # oo # sa # RR # o # CC # - ang "point sa infinity".

Pagkatapos ay maaari naming i-extend ang kahulugan ng mga pag-andar tulad ng #f (z) = (az + b) / (cz + d) # upang maging tuloy-tuloy at mahusay na tinukoy sa kabuuan ng # RR_oo # o # CC_oo #. Ang mga pagbabagong ito ng Mobius ay mahusay na gumagana # C_oo #, kung saan naka-map ang mga lupon sa mga lupon.

Infinity sa Set Teorya

Ang laki (Cardinality) ng hanay ng mga integer ay walang hanggan, na kilala bilang mabilang na kawalang-hanggan. Natagpuan ng Georg Cantor na ang bilang ng mga tunay na bilang ay mahigpit na mas malaki kaysa sa maaaring mabilang na infinity na ito. Sa set teorya mayroong isang buong kalabisan ng mga infinities ng pagtaas ng laki.

Infinity bilang isang numero

Maaari ba talagang tratuhin natin ang mga infinidad bilang mga numero? Oo, ngunit ang mga bagay ay hindi gumagana gaya ng inaasahan mo sa lahat ng oras. Halimbawa, maaari nating sabihin maligaya # 1 / oo = 0 # at # 1/0 = oo #, ngunit ano ang halaga ng # 0 * oo? #

Mayroong mga sistema ng numero na kinabibilangan ng infinities at infinitesimals (walang hanggan maliit na numero). Nagbibigay ang mga ito ng isang intuitive na larawan ng mga resulta ng mga proseso ng limitasyon tulad ng pagkita ng kaibhan at maaaring tratuhin ng mahigpit, ngunit may ilang mga pitfalls upang maiwasan.